Ecuaciones lineales para la IA: convierte una fórmula en una recta geométrica

Un clasificador pequeño asigna una puntuación a dos características:

Los pares de características $(0,5)$, $(1,3)$ y $(2,1)$ parecen distintos, pero cada uno recibe la misma puntuación:

No son tres coincidencias aisladas. Se encuentran sobre una misma recta geométrica, y cada punto de esa recta recibe puntuación cero. Al terminar esta lección podrás convertir una ecuación lineal de dos variables en una recta, producir y probar soluciones, y reconocer la misma geometría dentro de una curva de nivel del puntaje de un clasificador lineal.

Resultado de aprendizaje: Convierte una ecuación lineal de dos variables en una recta y prueba sus soluciones.

Esta lección se basa directamente en la Lección 9: Ecuaciones para IA, donde una ecuación se convirtió en una restricción que selecciona un conjunto solución. Aquí los valores permitidos son pares $(x,y)\in\mathbb R^2$, y la geometría nos permite ver ese conjunto. La Lección 10: Leer una derivación de IA línea por línea aporta el hábito complementario: cada transformación debe conservar exactamente los mismos puntos.

El sitio web oficial Mathematics for Machine Learning sitúa los sistemas de ecuaciones lineales al comienzo del álgebra lineal. Su Sección 2.1 explica la perspectiva geométrica: una ecuación en dos variables representa una recta y un sistema pregunta dónde se intersectan esas rectas. Esta lección aísla los fundamentos de una sola recta. Sus ejemplos, código, visualización y evaluaciones son originales, y la siguiente lección añadirá la segunda ecuación.

Una ecuación describe un lugar

Considera la ecuación general de dos variables

donde $x$ e $y$ son coordenadas reales y $a$, $b$ y $c$ son coeficientes reales fijos. La ecuación es lineal porque $x$ e $y$ solo aparecen a la primera potencia, no se multiplican entre sí y solo se multiplican por números fijos.

Supón que $b\ne0$. Resta $ax$ de ambos lados y luego divide por el número no nulo conocido $b$:

Esta es la forma pendiente-intersección, $y=mx+q$. La pendiente es $m=-a/b$: aumentar $x$ una unidad cambia $y$ en $-a/b$ unidades mientras la restricción se mantiene. La intersección con el eje vertical es $q=c/b$, alcanzada cuando $x=0$.

La fórmula reordenada hace más que facilitar el trazado. Expone una elección libre. Elige cualquier $x$ real y la ecuación calcula exactamente un $y$ correspondiente. A medida que $x$ varía continuamente, el punto solución recorre una recta, no una colección finita de puntos.

Una recta resuelta muestra pendiente, intersecciones y puntos

Trabajemos con

Aquí $a=3$, $b=2$ y $c=12$. Como $b$ no es cero, es válido despejar $y$:

La recta tiene pendiente $-3/2$. Si $x$ aumenta en $2$, $y$ disminuye en $3$. Ese cambio emparejado mantiene fijo el lado izquierdo porque

Un residuo convierte esa prueba de verdad en un número:

Los puntos de la recta tienen residuo $0$. Un residuo distinto de cero da tanto una prueba fallida como un signo: positivo significa que la suma ponderada supera $12$ y negativo que está por debajo de $12$.

Dos puntos distintos bastan para dibujar esta recta, pero no son todo el conjunto solución. La visualización controlada hace tangible la familia que falta.

El primer estado renderizado por el servidor es $(2,3)$, y la tabla situada bajo el gráfico contiene el mismo cálculo. La recta no necesita JavaScript para expresar su idea matemática; la hidratación añade la posibilidad de elegir otro $x$ y observar cómo cambia el $y$ correspondiente. El control usa pasos fijos de un cuarto de unidad para la inspección, mientras que el parámetro matemático puede ser cualquier número real.

Un parámetro representa toda la recta

Escribir varios puntos sugiere un patrón, pero un parámetro los describe todos a la vez. Sea $t$ cualquier número real y define

Cada par de esta familia es una solución porque

La recíproca también importa. Cualquier par que satisfaga $3x+2y=12$ debe satisfacer también $y=6-\tfrac32x$. Al elegir $t=x$, ese par queda en la familia parametrizada. Juntas, ambas direcciones muestran que la parametrización incluye cada punto de la recta y ningún punto fuera de ella.

Por eso una ventana gráfica nunca contiene todo el objeto matemático. Los píxeles y las coordenadas muestreadas son finitos; la recta es el conjunto solución infinito especificado por la ecuación.

NumPy genera puntos; la ecuación original los verifica

El código debe reflejar el álgebra. La documentación de NumPy para linspace indica que devuelve muestras espaciadas uniformemente en un intervalo especificado. Genera algunos valores de $x$, calcula sus valores correspondientes de $y$ y después prueba la restricción original, en lugar de confiar ciegamente en la fórmula reordenada:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3x + 2y = 12  ->  y = (12 - 3x) / 2
x = np.linspace(-2.0, 6.0, num=5)
y = (12.0 - 3.0 * x) / 2.0
residual = 3.0 * x + 2.0 * y - 12.0

print("x:", x)
print("y:", y)
print("residual:", residual)
print("on line:", np.isclose(residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12))

candidates = np.array([[2.0, 3.0], [2.0, 4.0], [4.0, 0.0]])
candidate_residual = 3.0 * candidates[:, 0] + 2.0 * candidates[:, 1] - 12.0
print("candidate residual:", candidate_residual)
print(
    "candidate on line:",
    np.isclose(candidate_residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12),
)

plt.plot(x, y, label="3x + 2y = 12")
plt.plot(candidates[:, 0], candidates[:, 1], "o", label="tested points")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.show()

La salida ejecutada es:

x: [-2.  0.  2.  4.  6.]
y: [ 9.  6.  3.  0. -3.]
residual: [0. 0. 0. 0. 0.]
on line: [ True  True  True  True  True]
candidate residual: [0. 2. 0.]
candidate on line: [ True False  True]

np.isclose compara valores de coma flotante con una tolerancia explícita. Aquí rtol=0.0 y atol=1e-12 significan «aceptar un residuo cuyo valor absoluto sea como máximo $10^{-12}$». Es una decisión de ingeniería numérica a la escala de este ejemplo, no una demostración simbólica de que la ecuación se cumple. La demostración provino del álgebra; el código comprueba que esta implementación coincide.

La llamada de trazado sigue el contrato de plot de Matplotlib: los arrays proporcionados dan las coordenadas horizontal y vertical de los nodos de la recta. Un gráfico más denso se vería más suave, pero no crearía más soluciones matemáticas.

El contorno de un clasificador es la misma ecuación con nombres de características

Volvamos a la puntuación inicial:

Aquí $x_1$ y $x_2$ son características de entrada, $2$ y $1$ son pesos fijos y $-5$ es una intersección. Una curva de nivel del puntaje reúne todos los pares de características que reciben una puntuación elegida. La curva de nivel de puntuación cero satisface

Es una recta. Moverse de $(1,3)$ a $(2,1)$ aumenta $x_1$ en $1$ y reduce $x_2$ en $2$, sin cambiar la puntuación:

Esta forma no se inventó para el diagrama. Un ejemplo oficial de LinearSVC de scikit-learn muestra la función de decisión calculada como una matriz de características multiplicada por coeficientes aprendidos más una intersección. La documentación de RidgeClassifier de scikit-learn también afirma que su puntuación de confianza binaria es proporcional a la distancia con signo al hiperplano separador y documenta que una puntuación superior a cero predice su segunda clase.

Para este clasificador educativo, elige la regla explícita

Según esta convención, la curva de nivel cero es la frontera de decisión: cruzarla cambia la clase predicha. Los puntos de un lado tienen puntuación positiva y los del otro puntuación negativa. La recta por sí sola no especifica la regla para empates ni los nombres de las clases; pertenecen a la convención de predicción. La puntuación bruta tampoco es automáticamente una probabilidad.

Dividir por cero revela los casos que faltan

La frase «$ax+by=c$ es una recta» necesita una condición: $a$ y $b$ no pueden ser ambos cero. Despejar $y$ necesita la condición local más fuerte $b\ne0$.

Por ejemplo, $2x+0y=6$ se simplifica a $x=3$. Todo punto $(3,y)$ funciona, así que la recta es vertical. Intentar producir $y=mx+q$ dividiendo por $b=0$ no es una ruta incómoda: no está definido. Una recta vertical no tiene pendiente finita porque su coordenada $x$ no cambia mientras $y$ puede hacerlo.

Hay otra idea práctica equivocada que conviene evitar. Dos puntos trazados pueden determinar una recta no degenerada, pero superar dos pruebas no demuestra que un código cualquiera represente la ecuación prevista. Un coeficiente intercambiado aún puede poner esos puntos concretos en los lugares esperados. Calcula el residuo para varios puntos elegidos deliberadamente, incluido uno fuera de la recta, y conserva la derivación algebraica como fuente de verdad.

Una restricción más convertirá las rectas en intersecciones

Una ecuación deja una coordenada libre: elige $x$ y la recta determina $y$; o, para una recta vertical, elige $y$ mientras $x$ permanece fijo. Esa libertad explica por qué una sola ecuación suele tener infinitas soluciones en pares de coordenadas.

La siguiente lección impondrá una segunda ecuación al mismo par. Entonces una solución deberá estar en ambas rectas a la vez. La prueba de punto sobre la recta desarrollada aquí se convertirá en una prueba de intersección, y la geometría mostrará por qué un sistema puede tener una solución, ninguna solución o una recta compartida completa.

Comprueba tu comprensión

residual = 3.0 * x + 2.0 * y - 12.0
on_line = np.isclose(residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12)