面向 AI 的线性方程：把一个公式变成几何直线

一个小型分类器为两个特征赋予一个得分：

s(x_1,x_2)=2x_1+x_2-5.

特征对 $(0,5)$ 、 $(1,3)$ 和 $(2,1)$ 看起来不同，但它们得到的得分相同：

s(0,5)=s(1,3)=s(2,1)=0.

这不是三个互不相关的巧合。它们位于同一条几何直线上，而且这条直线上的每个点都得到零分。学完本课后，你将能够把二元线性方程变成一条直线，生成并测试解，并在一个线性分类器的得分等值线中识别出同样的几何结构。

学习成果： 将二元线性方程转换为一条直线，并测试解。

本课直接承接第 9 课：面向 AI 的方程，在那里方程变成了筛选解集的约束。这里允许的值是 $(x,y)\in\mathbb R^2$ 中的数对，几何图形让我们能够看见这个集合。第 10 课：逐行阅读 AI 推导提供了配套习惯：每次移项都必须精确保留同一批点。

官方的 Mathematics for Machine Learning 配套网站将线性方程组放在线性代数的开端。其第 2.1 节解释了几何视角：二元一次方程表示一条直线，而一个方程组询问这些直线在哪里相交。本课聚焦于这条基础的单条直线。文中的例子、代码、视觉组件和练习题均为原创，下一课将加入第二个方程。

一个方程描述一个位置

考虑一般的二元方程

ax+by=c,

其中 $x$ 和 $y$ 是实数坐标， $a$ 、 $b$ 和 $c$ 是固定的实数系数。当 $x$ 和 $y$ 只以一次幂出现、彼此不相乘，并且只与固定数字相乘时，这个方程就是线性的。

假设 $b\ne0$ 。从两边减去 $ax$ ，再除以已知的非零数 $b$ ：

\begin{aligned} ax+by&=c,\\ by&=c-ax,\\ y&=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}. \end{aligned}

这就是斜截式 $y=mx+q$ 。斜率为 $m=-a/b$ ：在约束保持不变时， $x$ 增加一个单位会使 $y$ 改变 $-a/b$ 个单位。纵轴截距为 $q=c/b$ ，它在 $x=0$ 时取得。

整理后的公式不只是让绘图更方便。它显露出一个自由选择。任选实数 $x$ ，方程就会计算出恰好一个匹配的 $y$ 。随着 $x$ 连续变化，解点描出的是一条直线，而不是有限个点的集合。

一条算例直线揭示斜率、截距和点

来看

3x+2y=12.

这里 $a=3$ 、 $b=2$ 、 $c=12$ 。由于 $b$ 非零，解出 $y$ 是合法的：

\begin{aligned} 3x+2y&=12,\\ 2y&=12-3x,\\ y&=6-\frac32x. \end{aligned}

这条直线的斜率为 $-3/2$ 。如果 $x$ 增加 $2$ ， $y$ 就减少 $3$ 。这个成对的变化使左侧保持不变，因为

3(\Delta x)+2(\Delta y)=3(2)+2(-3)=0.

残差把这个真值测试变成一个数字：

r(x,y):=3x+2y-12.

直线上的点残差为 $0$ 。非零残差既表示测试失败，也带有符号：正值意味着加权和高于 $12$ ，负值意味着低于 $12$ 。

候选点	代入 $3x+2y$	残差 $r(x,y)$	判定
$(0,6)$	$3(0)+2(6)=12$	$0$	在线上
$(2,3)$	$3(2)+2(3)=12$	$0$	在线上
$(4,0)$	$3(4)+2(0)=12$	$0$	在线上
$(2,4)$	$3(2)+2(4)=14$	$2$	不在线上

两个不同的点足以画出这条直线，但它们不是完整的解集。这个受控视觉组件让缺失的点族变得直观。

移动一个坐标，让方程计算另一个坐标：显示的每个数对都位于 3x + 2y = 12 上。

选择直线上的一个点

x 坐标

使用滑块、指针或键盘上的方向键、Page Up、Page Down、Home 和 End 键。

计算得到的 y 坐标3由 y = (12 − 3x) ÷ 2 计算

也可以沿直线左右拖动圆点。

选中的点：(2, 3)。它的残差为 0，因此满足该方程。

3x + 2y = 12 的每个解●选中的解

选中点的文字替代内容
量	当前值	计算方式
x 坐标	2	由范围控件选择
y 坐标	3	(12 − 3 × 2) ÷ 2
残差	0	3 × 2 + 2 × 3 − 12

首次由服务器渲染的状态是 $(2,3)$ ，图表下方的表格包含同样的计算。这个直线不需要 JavaScript 才能表达它的数学含义；水合过程增加了选择另一个 $x$ 并观察匹配的 $y$ 变化的能力。控件使用固定的四分之一单位步长来便于检查，而数学参数可以是任意实数。

一个参数描述整条直线

写出几个点可以暗示规律，但一个参数可以一次描述所有点。令 $t$ 为任意实数，并设

(x,y)=\left(t,6-\frac32t\right), \qquad t\in\mathbb R.

这个族中的每个数对都是解，因为

3t+2\left(6-\frac32t\right) =3t+12-3t =12.

反向也很重要。任何满足 $3x+2y=12$ 的数对也必须满足 $y=6-\tfrac32x$ 。令 $t=x$ ，这个数对就属于参数化族。两个方向合在一起说明：参数化包含直线上的每个点，且不包含直线外的点。

这就是为什么绘图窗口从来不会包含整个数学对象。像素和采样坐标是有限的；直线则是方程所规定的无限解集。

NumPy 生成点；原始方程验证这些点

代码应当映照代数过程。NumPy 对 linspace 的文档说明，它会在指定区间上返回均匀间隔的样本。生成几个 $x$ 值，计算匹配的 $y$ 值，然后测试原始约束，而不是盲信整理后的公式：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3x + 2y = 12  ->  y = (12 - 3x) / 2
x = np.linspace(-2.0, 6.0, num=5)
y = (12.0 - 3.0 * x) / 2.0
residual = 3.0 * x + 2.0 * y - 12.0

print("x:", x)
print("y:", y)
print("residual:", residual)
print("on line:", np.isclose(residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12))

candidates = np.array([[2.0, 3.0], [2.0, 4.0], [4.0, 0.0]])
candidate_residual = 3.0 * candidates[:, 0] + 2.0 * candidates[:, 1] - 12.0
print("candidate residual:", candidate_residual)
print(
    "candidate on line:",
    np.isclose(candidate_residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12),
)

plt.plot(x, y, label="3x + 2y = 12")
plt.plot(candidates[:, 0], candidates[:, 1], "o", label="tested points")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.legend()
plt.show()

执行输出为：

x: [-2.  0.  2.  4.  6.]
y: [ 9.  6.  3.  0. -3.]
residual: [0. 0. 0. 0. 0.]
on line: [ True  True  True  True  True]
candidate residual: [0. 2. 0.]
candidate on line: [ True False  True]

np.isclose用明确的容差比较浮点值。这里 rtol=0.0 和 atol=1e-12 意味着“接受绝对值最多为 $10^{-12}$ 的残差”。这是针对该例规模所作的数值工程决策，而不是对方程成立的符号证明。证明来自代数；代码检查实现是否与代数一致。

绘图调用遵循 Matplotlib 的 plot 约定：提供的数组给出直线节点的水平和垂直坐标。更密集的绘图会显得更平滑，但不会创造更多数学解。

分类器等值线是带有特征名称的同一个方程

回到开头的得分：

s(x_1,x_2)=2x_1+x_2-5.

这里 $x_1$ 和 $x_2$ 是输入特征， $2$ 和 $1$ 是固定权重， $-5$ 是截距。得分等值线收集所有得到某个选定得分的特征对。零得分等值线满足

s(x_1,x_2)=0 \iff 2x_1+x_2=5 \iff x_2=5-2x_1.

这是一条直线。从 $(1,3)$ 移动到 $(2,1)$ 时， $x_1$ 增加 $1$ ， $x_2$ 减少 $2$ ，得分保持不变：

2(1)+3-5=0, \qquad 2(2)+1-5=0.

这个形式并不是为图示临时发明的。官方的 scikit-learn LinearSVC 示例展示了由特征矩阵乘以学习到的系数再加截距得到决策函数。scikit-learn 的 RidgeClassifier 文档还说明，其二分类置信度得分与到分隔超平面的带符号距离成比例，并记录了高于零的得分会预测其第二个类别。

对于这个教学分类器，采用明确的规则

\widehat{\text{class}}= \begin{cases} \text{A}, & s(x_1,x_2)>0,\\ \text{B}, & s(x_1,x_2)\le0. \end{cases}

在这个约定下，零等值线就是决策边界：跨过它会改变预测类别。一侧的点得分为正，另一侧的点得分为负。直线本身并不指定平局规则或类别名称；这些属于预测约定。原始得分也不会自动成为概率。

特征对	得分计算	得分	按所述规则的结果
$(1,3)$	$2(1)+3-5$	$0$	类别 B，位于边界上
$(2,2)$	$2(2)+2-5$	$1$	类别 A
$(0,4)$	$2(0)+4-5$	$-1$	类别 B

除以零揭示遗漏的情形

“ $ax+by=c$ 是一条直线”这句话需要一个条件： $a$ 和 $b$ 不能同时为零。解出 $y$ 则需要更强的局部条件 $b\ne0$ 。

系数情形	解集	几何结果
$b\ne0$	$y=-\frac abx+\frac cb$	非垂直直线
$b=0$ , $a\ne0$	$x=\frac ca$ 且任意实数 $y$	垂直直线
$a=0$ , $b\ne0$	$y=\frac cb$ 且任意实数 $x$	水平直线
$a=b=0$ , $c=0$	每个 $(x,y)\in\mathbb R^2$	整个平面，不是一条直线
$a=b=0$ , $c\ne0$	无解	空集，不是一条直线

例如， $2x+0y=6$ 简化为 $x=3$ 。每个点 $(3,y)$ 都成立，所以这条直线是垂直的。尝试除以 $b=0$ 来生成 $y=mx+q$ 并不是一条笨拙的路线，而是未定义的操作。垂直直线没有有限斜率，因为它的 $x$ 坐标不变，而 $y$ 可以变化。

还有一个需要避免的实际误解。两个绘出的点可以确定一条非退化直线，但通过两次测试并不能证明任意代码都表示预期方程。交换过系数的代码仍可能把这两个特定点放在预期位置。为几个有意选取的点（包括一个直线外点）计算残差，并保留代数推导作为真值来源。

再加一个约束，直线就会变成交点

一个方程留下一个自由坐标：选择 $x$ ，直线就确定 $y$ ；对于垂直直线，则选择 $y$ ，而 $x$ 保持不变。这种自由度就是单个方程通常有无穷多个坐标对解的原因。

下一课会对同一个数对施加第二个方程。解届时必须同时位于两条直线上。这里建立的点在线上测试会变成交点测试，几何图形将揭示一个方程组为什么可能有一个解、无解，或有一整条公共直线。

检查你的理解

问题 1

将 4x + 2y = 8 转换为斜截式。写出斜率和两个坐标轴截距，并展示每一步。

显示分步解答

由于 $y$ 的系数是非零数 $2$ ，用可逆步骤隔离 $y$ ：

\begin{aligned} 4x+2y&=8,\\ 2y&=8-4x,\\ y&=4-2x. \end{aligned}

将 $y=4-2x$ 与 $y=mx+q$ 比较可得斜率 $m=-2$ ，纵轴截距 $q=4$ ，因此一个截距是 $(0,4)$ 。对于横轴截距，令 $y=0$ ：

0=4-2x \iff 2x=4 \iff x=2.

另一个截距是 $(2,0)$ 。两者都满足原始方程： $4(0)+2(4)=8$ 和 $4(2)+2(0)=8$ 。

问题 2

检验点 (3, 1)、(1, 3) 和 (0, 4) 是否满足 2x + y = 7。分别计算残差，并将其分类为在线上或不在线上。

显示分步解答

使用残差 $r(x,y)=2x+y-7$ ：

\begin{aligned} r(3,1)&=2(3)+1-7=0,\\ r(1,3)&=2(1)+3-7=-2,\\ r(0,4)&=2(0)+4-7=-3. \end{aligned}

只有 $(3,1)$ 的残差为零，所以它在线上。另两个点不在线上。它们的负残差表示加权和 $5$ 和 $4$ 低于要求的值 $7$ 。

问题 3

使用一个实参数参数化 x − 3y = 6 的所有解，然后证明集合相等的两个方向。

显示分步解答

令 $y=t$ ，其中 $t\in\mathbb R$ 任意。解出 $x$ 得

x-3t=6 \iff x=6+3t.

所以提出的族为

(x,y)=(6+3t,t), \qquad t\in\mathbb R.

首先，列出的每个数对都成立，因为

(6+3t)-3t=6.

其次，原方程的任意解 $(x,y)$ 都满足 $x=6+3y$ 。令 $t=y$ ，就能把该解写成 $(6+3t,t)$ 。第一个方向排除了直线外的点；第二个方向确保没有遗漏任何解。

问题 4

一名学生将 5x + 0y = 10 重写为 y = (10 − 5x) / 0，并得出方程没有图像的结论。诊断错误并给出正确的解集。

显示分步解答

尝试的整理除以 $y$ 的系数，而这个系数为零。除以零没有定义，因此这一步不能保留解集。

直接从原方程出发：

5x+0y=10 \iff 5x=10 \iff x=2.

这个方程不限制 $y$ 。其解集是

\{(2,t)\mid t\in\mathbb R\},

即垂直直线 $x=2$ 。图像存在；只是无法使用具有有限斜率的斜截式。

问题 5

分类 0x + 0y = 0 和 0x + 0y = 4 的解集。解释为什么两个方程都不描述一条单独的直线。

显示分步解答

对于每个实数对 $(x,y)$ ，

0x+0y=0.

因此，第一个方程的解集是整个 $\mathbb R^2$ ，即整个坐标平面。它没有筛选出一条直线。

第二个方程简化为 $0=4$ ，对任何赋值都为假。其解集是空集 $\varnothing$ 。它根本不包含直线。这些情形说明，直线的定义要求 $a$ 或 $b$ 至少一个非零。

问题 6

对于得分 s(x₁, x₂) = −x₁ + 2x₂ − 4，找出零得分等值线，并使用正得分为类别 A、其他得分为类别 B 的规则分类 (0, 3)、(2, 3) 和 (4, 3)。

显示分步解答

令得分为零并解出 $x_2$ ：

-x_1+2x_2-4=0 \iff 2x_2=x_1+4 \iff x_2=\frac12x_1+2.

这条直线是零得分等值线。现在计算三个点：

\begin{aligned} s(0,3)&=-(0)+2(3)-4=2,\\ s(2,3)&=-(2)+2(3)-4=0,\\ s(4,3)&=-(4)+2(3)-4=-2. \end{aligned}

按照所述约定， $(0,3)$ 是类别 A，而 $(2,3)$ 和 $(4,3)$ 是类别 B。点 $(2,3)$ 恰好位于边界上。不同的平局规则可能会给零得分点分配不同类别，因此方程本身不能决定该标签。

问题 7

调试这项 NumPy 检查：on_line = (3 * x + 2 * y == 12)。写出一个考虑容差的残差检查，并解释它能证明什么、不能证明什么。

显示分步解答

先计算残差，然后使用根据计算规模选择的容差将它与零比较：

residual = 3.0 * x + 2.0 * y - 12.0
on_line = np.isclose(residual, 0.0, rtol=0.0, atol=1e-12)

当 $|r|\le10^{-12}$ 时，它会接受该元素。浮点运算后的舍入可能留下很小的非零残差，因此这种方法避免要求逐位相等。

结果测试的是给定的数值数组和这个容差。它不能证明对每个实参数值都有符号恒等式 $3x+2y=12$ ，而且过大的 atol 可能错误地接受直线外的点。推导建立了公式；数值检查有助于发现实现错误。

一个方程描述一个位置

一条算例直线揭示斜率、截距和点

一个参数描述整条直线

NumPy 生成点；原始方程验证这些点

分类器等值线是带有特征名称的同一个方程

除以零揭示遗漏的情形

再加一个约束，直线就会变成交点

检查你的理解

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